Allora,dopo aver iniziato a smantellare la fisicia teorica....passo a farlo con la matematica

Comincio col pi greco

Come sapete il valore del pi greco è infinitamente indefinito

Quindi tutti i calcoli che lo contengono NON sono esatti.

Ad esempio:

( r.r ) . 3,14....

Il risultato è PRECISO ma non è certo ESATTO

Ora , Popper , dice che :

Se Una Sola Sicura Prova contraddice un ASSUNTO BASILARE di una teoria ,allora quella teoria non è piú una ...teoria..ma una congettura

Bisogna quindi dire che la matematica è una disciplina precisa ma NON esatta.

Di conseguenza ,dal momento che la matematica fonda le "scienze Esatte" ....

queste stesse scienze NON sono per niente esatte ma solo "precise"

Ma,continuando impietosamente con la geometria piana...IL PUNTO...al "punto"

Si dice che il punto...non ha una dimensione...e giá qui...un essere umano appena senziente..potrebbe pensare che Eratostene doveva essere un tantino fyori di testa!

Ma poi si traccia una linea e si dice che è un insieme Infinito di Punti,cioè un insieme infinito di un ...ente che non ha dimensioni

E questo all'interno di una...scienza che si occupa proprio di dimensioni!


Ma non è tutto : a parte il fatto che la linea non dovrebbe avere...dimensuoni neanche lei...(a meno che i geometri...facciano salti logici ad ogni piè sospinto...)
se voi unite tre segmenti di linea,ottenete untriangolo e il triangolo Diventa Magicamente un Ente Dimensionale con tanto di ...areaaa

Mi fermo qui..ma non è certo finita

Naturalmente potrei sbagliarmi...spero...altrimenti...starei parlando di scienze degli asini

ciau

Ciao star-man.Purtroppo la matematica esiste ed è una scienza esatta.La periodicità dei numeri e la loro componente decimale,rappresenta un rapporto fra grandezze ben definite.La geometria piana ed alla base del nostro passato.Non posso che essere telegrafico su un argomento che ha diversi millenni di storia.Dovessimo mettere in dubbio tutto questo gli alieni e la loro presenza sarebbero, come solidità di argomento,un granello di sabbia in miliardi di galassie.

Ale,la geometria piana non è esatta,è precisa:

calcola l'area del cerchio : il pi greco non è mai esatto,è approssimato quindi il risultaro NON È ESATTO,è molto preciso ma NON ESATTO

Tutti i calcoli in cui entra il pi greco Non Sono Mai Esatti.

Ora se Popper ha ragione e se la logica é logica....la geometria piana non è esatta...

I sistemi di misura non sono mai esatti:

tu puoi misurare la lunghezza di un asse con unitá di misura sempre piú...corte ma otterrai un eccedenza o una mancanza....e questo all 'infinito.

Anche in questo caso dunque,Precisione ma NON esattezza.

Ripeto:non ci sono scienze esatte ma scienze molto precise,precise e meno precise

Ad esempio ,la psicologia è una scienza abbastanza...precisa,ma,in confronto alla matematica,lo è molto di meno:
infatti ha fatto entrare la matematica creando la psicometria per diventare piú precisa e meno approssimativa.

In generale, le scienze analogiche che usano rappresentare il "reale" con metafore razionali,come la psicologia,ad esempio,sono meno precise e approssimate di quelle digitali,come la fisica o la matematica.

La differenza tra le varie scienze dell'uono è questa e si muove su un continuum cha va dalla "esattezza assoluta" che nessuna di esse possiede alla precisione relativa,tipica,ad esempio,delle scienze "umanistiche",sociologiche,etnologiche,ecc....

ciao

Non a caso gli antichi pitagorici trattavano solamente numeri interi o razionali. L'aritmetica, così intesa, è esatta ed assoluta.
Personalmente sono della stessa idea dei pitagorici (non di star-man) e condivido l'opinione di Kronecker quando disse:"Dio fece i numeri interi, tutto il resto è opera dell'uomo".
Infatti, quando è che appare la necessità di introdurre i numeri irrazionali? Quando si introduce l'idea di spazio, un'idea non aritmetica, ma fisica.
Quando si tenta cioè l'applicazione della scienza del numero alla categoria dell'estensione. Quindi l'inesattezza di cui parla star-man non deriva affatto dall'aritmetica, ma dall'estensione della stessa alla geometria, che è legata per definizione alla categoria spazio (così come percepito dall'uomo, tra l'altro). Il che non vuol dire affatto che la geometria sia inesatta (intendendo questo aggettivo alla star -man) , ma che lo è la rappresentazione numerica della stessa, sono due cose molto diverse.
Ma tutto questo non tange l'assoluta esattezza dell'aritmetica.

Ciao star-man, come abbiamo già discusso nell'altro topic, la geometria (euclidea nel tuo esempio) può essere considerata esatta partendo dai suoi assiomi e concetti non definiti e da lì si costruisce tutto il castello teorico che la descrive.

Il salto logico che secondo me fai e non tieni conto è nel momento in cui trasponi la geometria euclidea nel mondo fisico.

Il cerchio del quale parli non potrà mai essere rappresentato fisicamente.
Quello che tu disegni sulla carta è un'approssimazione di un concetto astratto.
Ma anche quando parliamo di linea e punto il discorso è il medesimo.
Perchè la grafite della tua matita lascia una traccia sul foglio di spessore non nullo. Quindi fin dal primo momento, fin dal primo schizzo sul foglio, iniziamo a discutere di una figura che non c'entra nulla con quella idealizzata e astratta della geometria euclidea. E' sicuramente un 'ottima approssimazione ma non sono la medesima cosa.

Ovviamente la geometria nasce anche da esigenze pratiche.


E non pensare che gli antichi, come Archimede non non conoscessero l'esistenza dei numeri irrazionali come il pigrego

Per un semplice motivo , archimede (e non solo lui, prima di lui) deve aver fatto una semplice constatazione.

un triangolo rettangolo con i due cateti pari a un'unità.
L'ipotenusa sappiamo che vale (1^2+1^2)^(1/2), cioè vale radice di 2.

e radice di 2 è irrazionale come il pigreco.
Come l'ha scoperto Pitagora che radice di 2 non era un numero intero (o naturale) oppure frazionario, quindi esprimibile con due numeri interi?

procedendo così:

evito il semplice passaggio che dimostra come radice 2 non sia un intero, (anche perchè pitagora l'avrà dimostrato prendendo un righello campione scoprendo che l'ipotenusa era maggiore di 1 e minore di 2.

Come però ha fatto a dimostrare che radice di due non è razionale, quindi esprimibile come divisione di interi?

in termini moderni avrebbe fatto questi semplicissimi passi logici:

se per assurdo radice 2 fosse razionale, allora radice2 =a/b, con a e b interi.

quindi elevando al quadrato si avrebbe 2=(a/b)^2

ma non esiste nessun numero naturale il cui quadrato sia 2...perchè 1 al quadrato è 1 e 2 al quadrato è 4, quindi siamo già 'fuori scala'...più rigorosamente si accorse che a^2 essendo divisibile per 2 doveva essere pari e poichè il quadrato di un pari è ancora pari, anche 'a' è pari e con altri due passaggi, si rese conto che anche b era pari, contro l'hp iniziale dove a/b razionale proprio, e quindi privo di di un divisore comune.



Quindi gli antichi erano ben consapevoli dell'esistenza di numeri di natura diversa da quelli degli interi e dei frazionari.

e come vedi rimaniamo sempre nell'ambito dell'astrazione matematica. Gli irrazionali non sono un'approssimazione. il loro computo lo è non la loro esistenza.

Se io dico pgrego, non commetto nessun errore di approssimazione, se scrivo, 3,14 , lo commetto eccome.

Perchè il far di conto esula dall'astrazione matematica. La matematica non è fatta di calcolo. Il calcolo è l'applicazione nel mondo reale della matematica...detta così, brutalmente senza tanti abbellimenti.

starman guarda che non c'era bisogno di scomodare Popper.. basta ricordarsi delle geometrie non euclidee: una geometria non euclidea è una geometria costruita negando o non accettando alcuni postulati euclidei. Viene detta anche metageometria.

rmnd io concordo con quello che scrivi

Infatti il problema sta nell'interfaccia tra il modello e il "reale"

Il modello,quando è assiomatico,è esatto,su questo non ci sono dubbi

Applicando il modello al reale ,però....

Ascolta : tu costruisci una fontana circolare perfetta,vuoi saperne la misura della superficie del suo pavimento

Bene,applichi la formula e ottieni il risultato ,preciso ma non esatto.



Questo per la questione del pi...muah

Fin qui siamo d'accordo

Però,il pi e diciamo altre irrazionalitá numeriche, stanno in un modello che definisce sè stesso come esatto e questo non mi pare logico

Ru stesso hai scritto che il problema esiste e forse bisognerebbe trovare altre parole per definirlo.

Esatto vuol dire...esatto...non vuol dire preciso....e forse ha ragione l'amico che ha scritto prima suill'entrata dei numeri razionali in matematica.

Insomma....io sono dell'idea di cambiare parola e definizione:

dire esatto non è corretto,dire preciso sarebbe meglio...o,forse,usare un'altra parola.

La matematica permea molte scienze considerare esatte quindi ne determina l'esattezza ,in paete.

Ma,nel contempo,ne determina anche l'inesattezza

Quindi,perchè non limitarci a definre le scienze in base alla loro capacitá reale di dare del reale una visione il piú possibile precisa?

Quindi, non piú scienze di serie A,B o C ,Esatte e non....ma Scienze e basta,su un continuum di approssimazione al reale.

(la frase che segue è un refuso che non resco a cancellare col cell)l

se ul modello fornisse misure,numeri e dati ...esatti,magari con un decimale chilometrico ma...finito,le misure del reale sarebbero

E' innegabile che nel mondo antico, soprattutto nei tempi "più antichi" dello stesso, si desse maggior valore (per ragioni filosofiche) ai numeri interi.
Naturalmente gli antichi conoscevano i numeri irrazionali, tuttavia l'aritmetica dei numeri interi era tenuta in grande conto, basti pensare a Teone di Smirne, a Diofanto e alle sue equazioni a valori interi; i pitagorici (originari e coloro che poi vi si ispirarono successivamente) continuarono a privilegiare a tal punto i numeri interi che non desistettero dallo studio delle equazioni a valori interi, nonostante queste siano in genere molto più difficili da risolvere di quelle le cui soluzioni sono prive del vincolo dell'interezza.
Infatti un'equazione a valori interi con due incognite in generale (a parte casi particolari, appunto), non è facile da risolvere, non sempre si può applicare la stessa tecnica per risolvere queste equazioni.
Vogliamo poi ricordare l'importanza data ai bellissimi ed interi numeri figurati? In quest'ambito una radice quadrata è sempre un valore intero, una radice pentagonale, dodecagonale, ottaedrica, piramidale a base decagonale, triacontagonale etc è sempre rigorosamente intera per definizione.

E' chiaro che la geometria, che era la seconda scienza del quadrivio, e le sue verità sono indipendenti dalla rappresentazione numerica e dal computo delle stesse nel senso di calcolo fino all'n-esima cifra decimale. Sono verità razionali legate alla nostra intuizione dello spazio e dell'estensione. E' altrettanto chiaro che la geometria si può assiomatizzare, svincolandosi così anche dalla comune intuizione dello spazio (geometrie non euclidee), fondandosi così esclusivamente su base logico-razionale, senza tirare in ballo la necessità di conoscere l'n-esima cifra decimale.
Ma resta il fatto che la geometria lavora sullo spazio e lo spazio è dotato della proprietà del continuo. Il salto nasce lì ed è per questo che si devono costruire i numeri irrazionali, che, finché si resta nell'ambito della loro costruzione, sono esatti; ma quando per ragioni pratiche si vuole applicare il numero al continuo, quando si vuole computare, allora si è costretti ad approssimare, perché il numero è per sua intima natura discreto, il continuo no.
A me il continuo non affascina più di tanto, tuttavia riconosco che lo studio del continuo ha fatto nascere l'analisi, che ci ha portato molti benefici pratici e stimolato quelle magnifiche costruzioni che sono i numeri transfiniti di Cantor, molto molto interessanti.

Kronecker fu meschino con Cantor e questo suo comportamento è condannabile, ma a mio parere aveva ragione.

grazie per il contributo

No, è qui che secondo me sbagli.
I numeri razionali hanno pieno titolo di esistere e di essere considerati esatti alla stregua di quelli naturali e razionali.
Anche perchè un numero è esatto o non è neanche un numero.
Semmai la grandezza che andiamo a misurare può essere approssimata nella sua stima, per errori sistemici o altro. Ma non il numero in quanto tale.

Perchè il matematico non ha bisogno di approssimare il pgreco.
il matematico è ben conscio per esempio che un'espressione tipo pgrego + radice2 + 1 è un numero irrazionale.

Nel momento che per qualche necessità reale (vedi implementazioni su calcolatori, o misure di altro tipo) occorre covertire quel numero in una notazione più consona a fini pratici e quindi vi è la necessità di convertirlo in una espressione decimale, le matematica viene in aiuto ancora una volta fornendo strumenti di calcolo non empirici ma la cui validità teorica è dimostrabile e dimostrata.

Quindi si converte quel numero sopra in una sequenza finita di cifre ottenendo 5,56..etc. etc...

Ma il matematico sa bene che stiamo parlando di due cose ben differenti.
Perchè pgrego+radice2+1 è un numero irrazionale, mentre 5,56 etc..è un numero decimale finito quindi esprimibile sotto forma di frazione propria o impropria.
Appartengono a due classi diverse. non è per il matematico la seconda un'approssimazione della prima, ma due entità distinte.

tu puoi approssimare il pgrego a quanto ti pare anche alla milionesima cifra decimale, ma quel numero che ottieni non è il pgrego . Perchè il pgrego è irrazionale mentre 3,14.....alla milionesima cifra decimale è un numero razionale.

Tu mi dirai si ma non solo nell'astrazione matematica ma anche nella vita reale so (dopo averlo dimostrato ) che 1+1 = 2
Mentre nella vita reale non so che farmene di pigrego + radice2+1.

Ma tu pensi davvero che nella vita reale di sapere che 1+1=2 sia lo stesso di quello che ottieni nel meraviglioso mondo di matematicalìe...?

Nel mondo reale immagino tu di doti di righello e decidi di misurare il lato di una parete. il righello di 1 (metro) la parete di 2 (metri).
Ma sai benissimo che quello che ottieni è un'approssimazione, come dicevo sopra , sia strumentale che sistemica..immagina di avere una lente di ingrandimento magica..che ingrandisce sempre più (un microscopio elettronico va)..vedrai che le le superfici del righello e della parete saranno via via sempre meno precise a un certo punto vedrai solo una nuvola elettronica.

quindi finchè rimaniano lato matematica, non ha senso approssimare convertendo in una sequenza ordinata e finita di numeri interi un numero irrazionale.
Nelle applicazioni pratiche si rende necessario ma perchè? forse perchè i numeri irrazionali sono pura astrazione matematica mentre i numeri interi esistono anche in natura (e da qui forse la definizione di naturali) ?

No, assolutamente. Il motivo è molto più prosaico. Abbiamo fondato la nostra civilità sul sistema metrico decimale.
Siamo stati 'fortunati' che con tale sistema i numeri frazionari possono essere espressi con un numero finito di cifre.

Anche se come ti ricordavo anche 3,14...troncato alla milionesima cifra decimale è un numero esprimibile in frazione e finito (come sai ci sono numeri frazionari anche per numeri infiniti, ..vedi numeri periodici)

Ma qual'è l'utilità di avere numeri frazionari la cui conversione decimale porta a milioni di cifre benchè finite? alla fine vedi che nel 'mondo reale' approssimi anche i numeri frazionari?

Ripeto , gli irrazionali, come i razionali e gli interi hanno pari diritto di cittadinanza e sono infiniti . Prendi un numero intero qualsiasi e un intervallo piccolo a piacere anche tendente a zero da entrambi i 'lati' di quel numero intero. Troverai infiniti irrazionali..e non perchè lo dice il buon senso ma perchè lo si dimostra con semplici passi di logica matematica.

Esapnendo il discorso, possiamo fare analoghe considerazion per le funzioni matematiche. Esistono in natura ? esistono le funzioni fondamentali come quelle sinusoidali?
In matematica esistono , in natura probabilmente no..ma vi sono ottime approssimazioni.

e nel mondo reale come computi funzioni periodiche con periodi e ampiezze diverse tra loro? utilizzando 'fourier' per esempio.
Quindi hai da una parte il supporto rigoroso della matematica e dall'altra la medesima matematica che ti fornisce strumenti utili per l'approssimazione numerica di funzioni complesse.

Le serie numeriche sono nate con il medesimo intento.

e cos' via..quindi non denigriamo arbitrariamente il numero irrazionale perchè ha lo stesso diritto e importanza di quello naturale.

hai ragione,cosa vuoi che ti dica ?

Probabilmente la risposta sta nel fatto che la matematica nel suo insieme si muove tra il reale e il mentale interfacciando i due

Ora,il mentale segue un percorso che in parte è autonomo e libero dall'utilitâ pratica....

Nel contempo,la pratica puó ..accontentarsi dei risultati non sempre esatti ottenuti interfacciando il modello col reale.

Vi piace questa sintesi?

Io la trovo buona.

ciau

Ciao star-man
Davvero non è questione di ragione o torto ma uno scambio di opinioni.

Per sintetizzare quanto scritto sopra, il matematico di turno ti direbbe: "vuoi convertire il numero pigreco in notazione decimale? fai pure. ma rammenta che gli irrazionali per loro natura non possono essere espressi con un numero finito di termini"
Ma questo non significa che il pigreco sia approssimato. E' per sua natura approssimata la conversione in notazione decimale.

Lasciamo perdere gli irrazionali. Siamo tutti d'accordo sulla leicità all'esistenza dei razionali giusto? ti avevo accennato ai numeri periodici?
prendi 1/3. cavolo! è un numero razionale...ma se provi a convertirlo nella notazione decimale, otterrai un numero infinito di cifre...

quindi è 'colpa' nostra che ci ostiniamo a convertire le mele con le pere.
perchè sappiamo che la rappresentazione decimale di certe classi numeriche non potrà che essere approssimata, quanto si vuole , ma sempre approssimata a un numero finito di cifre.

Immagina infine (e torniano all'esempio della radice di 2), di avere davvero due righelli ideali di lunghezza unitaria e di poterli disporre senza errore ad angolo retto tangenti alle loro estremità. e di poter tracciare una linea retta ideale tra le altre due estremità.
la lunghezza di quella linea sarà esattamente radice2 , un numero irrazionale che nessun righello suddiviso in frazioni decimali potrà mai calcolare con precisione. Eppure , quella riga esite, l'hai tracciata e con le hp iniziali è esattamente lunga radice2


buona serata, moh esco

Più che tra il mentale ed il reale (penso che tu intenda quest'ultimo nell'accezione di mondo fisico, misurabile con uno strumento fisico) direi platonicamente tra il mondo delle idee e quello degli oggetti fisici, ma l'aritmetica veniva dagli antichi considerata più vicina al mondo delle idee (platonicamente intese), sebbene non coincidente con esse, la geometria invece più vicina la mondo degli oggetti, ma sufficientemente sganciata da essi ; di qui la sua esattezza a prescindere dalle necessità pratiche di esprimere rapporti fra lunghezze in forma numerica, per non parlare dei problemi pratici di misura (con gli inevitabili errori legati alla precisione degli strumenti), ma anche la sua "vulnerabilità" (legata al continuo) quando si vogliano esprimere in numeri rapporti fra grandezze incommensurabili.

si ,penso che ci stiamo comprendendo bene.

Come scrivi,la matematica è nata da esigenze pratiche:

numerare,seriare,contare,calcolare,misurare

Poi ha seguito un itinerario di pensiero ,a mio modo di vedere aempre piú lontano dall'utilitá pratica iniziale diventando una scienza.

Questo percorso perô non ha mai perso completamente ul contatto con l'utile
fornendo ,ad esempio,strumenti e tecnologie,migliorando la precisione delle misure,ecc....

Questo è molto interessante perchè è tipico della cultura umana procedere dal semplice al complesso fino a che il complesso,in parte,se ne va perconto suo per poi ricadere sul semplice facilitandoko e
fornendogli opzioni utili ecc....

La mente ha bisogno di viaggiare libera ma non perde mai il contatto con il reale,loriginario,il primario,l'utile.

Davvero una bellissima discussione,grazie!

ciau

Al contrario, io penso che nasca da intuizioni non legate al mondo fisico ma attinga al mondo delle idee platonicamente intese; solo secondariamente trova innumerevoli applicazioni pratiche, perché anche il mondo fisico è riflesso del medesimo mondo iperuranio, ma lo è ad un livello più basso ed "inesatto", per così dire, la qual cosa si riflette per esempio in geometria nella necessità di approssimare, per esigenze di calcolo, i numeri irrazionali in sé esatti. Quell'"in sé" riporta ad una maggior vicinanza al mondo delle idee.